Фракталы в биологии.

Работу выполнил

Дмитриев М. М.

научный руководитель

преподаватель биологии и информатики

Броздецкий В.С.

Введение

Фрактальное множество - само подобная структура- один из "горячих" объектов современной науки.

Подобные объекты были известны довольно давно, но настоящий интерес к ним появился после активной популяризаторской деятельности Бенуа Мандельброта, работающего в корпорации IBM.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

1977 год можно считать началом переворота, который геометрия фракталов производит не только а в математике и в физике, но и во всем естествознании. И даже уже в обществоведении, где лингвисты открыли общие фрактальные закономерности в строении самых разных языков. И все это - в считанные годы! Таких темпов общенаучной экспансии не знает история  в науке.

Фракталы - это фигуры с бесконечным количеством деталей. При увеличении, они не становятся более простыми, а остаются такими же сложными, как до увеличения. В природе, вы можете находить их повсюду. Любая ветка дерева, при увеличении, напоминает целое дерево. Любой камень с горы напоминает целую гору. Теория фракталов была сначала разработана для изучения природы. Теперь она используется в ряде других областей. И, естественно, красота делает фракталы популярными!

Красота фракталов двояка: она услаждает глаз ( и слух), о чем свидетельствует хотя бы обошедшая весь мир выставка фрактальных изображений, организованная группой математиков под руководством Пайтгена и Рихтера. Позднее экспонаты этой грандиозной выставки были запечатлены в иллюстрациях к книге "Красота фракталов". Но существует и другой, более абстрактный или возвышенный, аспект красоты фракталов, открытый, по словам Р.Фейнмана, только умственному взору теоретика, в этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи.

Фракталы обладают еще одной ипостасью, делающей их еще более прекрасными В глазах  теоретика. Структура фракталов настолько сложна, что оставляет заметный отпечаток на физических процессах, протекающих на фракталах как на носителях. Фракталы иначе рассеивают электромагнитное излучение, по другому колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам иначе происходит диффузия вещества. Возникает новая область естествознания - физика фракталов. Фракталы становятся удобными моделями, чем-то вроде интегрируемых задач классической механики, для описания процессов в средах, ранее считавшихся неупорядоченными.

Жидкость, газ, твердое тело - три привычных для нас состояния однородного вещества, существующего в трехмерном мире . Но какова размерность облака, клуба дыма, точнее их границ, размываемые турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех . Аналогичным образом можно посчитать размерности других реальных объектах вроде береговой линии или кроны дерева. Кровеносная система человека, например, имеет размерность порядка 2.7. Все объекты с нечеткой, хаотичной, неупорядоченной структурой оказались состоящими из фракталов. Связь между хаосом и фракталами далеко не случайна - она выражает их глубокую общность. Фрактальную геометрию можно назвать геометрией хаоса.

При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Классификация фракталов

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации .

1.      Геометрические фракталы

            Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. .

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

2.      Алгебраические фракталы

         Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.

3.      Стохастические фракталы

            Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

У любого фрактала есть бесконечно повторяющаяся форма. При создании такого фрактала, естественно, что самый простой способ состоит в том, чтобы повторить несколько действий, которые создают эту форму. Вместо слова "повтор" можно использовать математический синоним "итерация".

Чтобы создать настоящий фрактал, надо выполнить итерацию бесконечное количество раз. Однако, при выполнении этого на компьютере, возможности ограничены скоростью и количеством точек, так что итерации выполняются несколько раз. Увеличение количества итераций делает фракталы более точными.

ВИДЫ ИТЕРАЦИИ

Существуют три основных вида итерации:

1. Заменительная Итерация — Создает фракталы, заменяя некоторые геометрические фигуры другими фигурами.

2. Итерация ИФС — Создает фракталы, применяя геометрические преобразования (типа вращения и отражения) для геометрических фигур.

3. Итерация Формулы — Включает несколько путей создания фракталов, повторяя некоторую математическую формулу или несколько формул.

Существуют также несколько не основных видов итерации. Например, фракталы можно создавать, итерируя процесс свертывания бумаги. Однако, эти фракталы могут также быть созданы, используя по крайней мере один из основных видов итерации.

Заменительная итерация

Один из способов создания фракталов - заменительная итерация. Для ее выполнения мы начинаем с фигуры называемой основой. Затем каждая часть основы заменяется другой фигурой, называемой мотивом. В новом рисунке мы снова заменяем каждую частью мотивом. Если мы выполним эти замены бесконечное количество раз, мы закончим фракталом.

L-системы

Заменительная итерация очень проста. Все, что дня нее необходимо - это повторная замена основы мотивом. Для компьютера, однако, не достаточно иметь изображение основы и мотива. Мы нуждаемся в способе сохранения данных о фрактале, который не тратит много памяти на графические изображения и позволяет создавать простые алгоритмы для черчения фракталов. Наилучший подобный способ - это л-системы. ). L-система - это грамматика некоторого языка (достаточно простого), которая описывает инициатор и преобразование, выполняемое над ним, при помощи средств, аналогичных средствам языка Лого (аксиоматическое описание простейших геометрических фигур и допустимых преобразований на плоскости и в пространстве).  Л-системы были разработаны А. Линденмейером ("л" в слове "L-система" - его инициал). Они составлены из определения угла, аксиомы и по крайней мере одного правила. Аксиома - это начальная форма (основа), используемая в процессе создания фрактала. Правила указывают, какие символы в аксиоме должны быть заменены другими символами.

Большинство фракталов с фрактальной размерностью от 0 до 2 могут быть выражены, используя л-системы. Комбинация нескольких символов и правил могут создавать очень сложные фракталы. Такие л-системы используются, чтобы делать реалистичные модели растений.

Формульная итерация

Формульная итерация - самый простой вид итерации, однако он наиболее важный и дает самые сложные результаты. Он основан на использовании математической формулы для постоянного изменения числа.

Теоретические предпосылки.

 Но Фрактальную геометрию в основном использовали только математики и Физики. Вот появилась идея использовать принципы фрактальной геометрии в биологии.

Исходя из того, что Фракталы в неживой природе отображают процесс разрушения (энтропия увеличивается), а в живой природе - процесс созидания (энтропия уменьшается).

            Термодинамические процессы в живой природе идут по пути уменьшения энтропии системы, увеличения организованности объектов. Эти свойства являются фундаментальными для живой природы. Другие свойства живого - это рост и развитие. То есть живой объект постепенно разворачивается в пространстве и времени, увеличивая свои размеры и массу. (береговая линия - результат разрушения неких неживых тел (пород)). То есть, исходя из выше сказанного, мы предположили - в живой природе можно наблюдать фрактальные явления , можно попытаться их построить. На первом этапе мы решили попробовать проследить фрактальные явления там, где они сами напрашиваются на реализацию. В биологии при изучении роста растений была выявлена такая закономерность как "Ветвление".

            Ветвление возникло в процессе эволюции тела растений еще до появление органов. Существуют несколько типов ветвления: дихотомическое, моноподиальное, симподильное.

            При дихотомическом ветвлении конус нарастания раздваивается, образуя два побега, каждый из которых в свою очередь дает еще два побега и т.д. Это ветвление наиболее древние и, оно представлено у плаунов и некоторых других растений (рис 2) для построения таково тип ветвления надо выставить в рабочей области как показано на рис 3.

(рис 2)

(рис 3)

            При моноподиальном ветвлении имеет место длительный неограниченный верхушечный рост главной оси первого порядка — моноподия от которой отходят более короткие боковые оси второго и последующих порядков. Их количество зависит от времени жизни растения. Это ветвление свойственно многим голосеменным (ель, пихта, кипарис и т.д.) (рис 4). Их ствол представляет ось одного порядка. Для построения такого типа ветвления надо установить все параметры  в рабочей области как показано на рисунке 5.

(рис 4)

(рис 5)

            При симподильном ветвлении главная ось рано прекращает вой рост , но под ее верхушкой трогается в рост боковая почка Выросший из нее побег как бы продолжает ось первого порядка. Этот побег в свою очередь также прекращает верхушечный рост, и тогда начинает расти его боковая почка, из которой возникает ось третьего порядка, и т.д. Такое ветвление характерно для большинства деревьев, кустарников и т.д.( рис 6). Для построения такого тип ветвления надо установить все параметры в рабочей области как показано на рисунке 7. Симподильное ветвление эволюционно более продвинутое.

(рис 6)

(рис 7)

             Существуют два вида тоста первичный рост и вторичный рост.

Первичный рост происходит в близи верхушечных корней и стеблей. Он начинает их апикльными маристеиами и связан главным образом с удлинением тела растений. В ходе первичного роста образуются первичные ткани, составляющее первичное тело растения. Примитивные,  также и многие современные сосудистые растения состоят целиком из первичных тканей.

            Кроме первичного у многих растений происходит дополнительный рост, вызывающий утолщения стебля. Он называется вторичным и вязан с активностью латеральной меристемы, камбия, который формирует вторичные проводящие ткни. Вторичные проводящие вместе с пробковой тканью составляют вторичное тело растения.

            Вторичный рост сопровождается изменением цвета стебля. И в зависимости от количества вторичной проводящей ткни окрас темнеет.

Решение проблемы.

Появилась идея попробовать создать программу при помощи которой можно было бы моделировать кроны деревьев.

В ходе работы была создана программа позволяющая быстро и удобно моделировать ветвление. В данной программе в отличии от других при увеличении числа итераций структура усложняется путем не дробления на себе подобные, а разворачивания себе подобных структур из точек роста. Поэтому в данном случаи можно рассматривать число итераций как возраст растения. Отличительной особенностью программы является удобный интерфейс. В отличии то других программ не нужно вводить данные в виде формулы, а визуально строить единичную структуру.

            В своей работе я использовал геометрический метод построения фракталов, поскольку   он является наиболее удобным для построения изображений кроны. Изображения строится как растущее.

            Существенным отличием моей программы от программ подобного рода является применение удобного интерфейса. Этот интерфейс удобен тем, что пользователю легко  вводить все необходимые данные.

            В данной программе я использовал  рекурсивный вызов процедуры построения единичной фигуру.

            Алгоритм программы следующий:

            Пользователь задает единичную фигуру, расположения почек роста, угол наклона, количество генерацией, степень уменьшения следующий фигуры.

            Затем все эти данные записываются в массив.

            Программа строит единичную фигуру с данным углом. Определяет где находятся точки роста. Строит следующею фигуру с этой точки заданное количество раз. Размер фигуру меньше начальной в заданное количество раз. При этом каждая новая фигур отличается по цвету от предыдущей. Цвет последней линии ярко зеленый поэтому, при большом количестве итераций, это имитирует листья которые действительно находятся на концах веток. Скорость построения зависит от количества итераций, поэтому следует вводить значение не больше 10.

Заключение

Привлекательность задачи на построения фрактальных изображений состоит не только в том,  что эти изображения очень красивы, но и в том что и строятся они по средством простых алгоритмов.

            В реальном мире мы не встретим геометрических форм, соответствующих канонам евклидовой геометрии, Его геометрическая первооснова оказывается фрактальной. Объединив идею фрактальности с идеей формообразующей случайности, современная геометрия совершила гигантский качественный скачок. Впервые за свою историю математика оказалась в состоянии правильно отражать мир во всем многообразии его сложных форм, не прибегая  к многоярусным нагромождениям все более абстрактных и искусственных интеллектуальных конструкций. В этом  плане особенно показательно то, как фрактальная геометрия рисует мир. Здесь человек научился творить многообразие геометрических форм наподобие самой природы. Пусть для начала - лишь на экране дисплея.

            Кроме того, модели фрактального роста быстро вышли за рамки компьютерной графики. Они оказались феноменально продуктивны во многих областях физики и химии. Так, они вносят теоретическую ясность во многие проблемы, связанные с прочностью материалов.          Даже загадочный феномен шаровой молнии удалось смоделировать на фрактальных структурах из тонкой проволоки. В помещении поведение этой конструкции аналогично поведению залетевшей шаровой молнии. Если материальная модель столь эффективна , то из этого прямо следует эффективность представлений о фрактальной структуре самих шаровых молний.

                В данной работе я,  вместе с наукой наших дней, попытался освоить определенный тип геометрического описания природы - фрактальный. Перспективы работы в этой области безграничны, как и сама природа.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 С. К.Абачиев Концепция современного естествознания. Балашиха - 1998.

Р. Баас, М. Фервай, Х. Гюнтер Delphi 5: для пользователей :пер. с нем. - Издательская группа BHV, 2000г.

Г. П. Яковлев, В. А. Челомбитько Ботаника. М. 1990г. 

http://library.thinkquest.org/26242/russian/tutorial/tutorial.html

http://mahp.oil.rb.ru/kniga/

http://www.chat.ru/~fractals/

http://www.geocities.com/SoHo/Studios/6648/fractals.htm

http://www.ipm.sci-nnov.ru/~demidov/java.htm

http://www.visti.net/cplusp/all_96/6n96y/6n96y1a.htm